130527 初版 130527 更新
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増減の問題は古来から研究されてきた。
今回も第1次導関数の利用である。
関数 f(x) は x=a で微分可能であるとする。
すなわち，
\(\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}\) が存在する。
すなわち，
右からと左からの極限値が存在して等しい。
このとき，
\(\displaystyle{f^\prime(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}\)
とおくのであった。
h を 0 よりほんの少しだけ大きな数とする。
\(f(a+h)=f(a)+f^\prime(a)\cdot h\) これは近似式である。
平均値の定理はこれをしっかり述べたもので，
\(f(a+h)=f(a)+f^\prime(c)\cdot h\), \(a < c < a+h\)
したがって，
\(f^\prime (x) > 0\) である区間では f(x) は増加する。逆もいえる。
\(f^\prime (x) < 0\) である区間では f(x) は減少する。逆もいえる。