△OAB において，
辺OA を 2 : 1 に内分する点をC,
辺OB の中点を D とし，
線分AD と 線分BC の交点をP とする。
\(\overrightarrow{\rm OA}=\vec{a}\),
\(\overrightarrow{\rm OB}=\vec{b}\) とするとき，
\(\overrightarrow{\rm OP}\) を
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) を用いて表そう。
\(\overrightarrow{\rm OC}=\dfrac{2}{3}\vec{a}\)
\(\overrightarrow{\rm OD}=\dfrac{1}{2}\vec{b}\)
AP : PD = s : (1-s) … ①
BP : PC = t : (1-t) … ②
① より
\(\overrightarrow{\rm OP}=(1-s)\overrightarrow{\rm OA}
+s\overrightarrow{\rm OD}\)
i.e.
\(\overrightarrow{\rm OP}=(1-s)\vec{a}+\dfrac{1}{2}s\vec{b}\) … ③
② より
\(\overrightarrow{\rm OP}=(1-t)\overrightarrow{\rm OB}
+t\overrightarrow{\rm OC}\)
i.e.
\(\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{2}{3}t\vec{a}+(1-t)\vec{b}\) … ④
\(\vec{a}\not=\vec{0}\),
\(\vec{b}\not=\vec{0}\),
\(\vec{a}\) ∦ \(\vec{b}\)
③, ④ より
\(1-s=\dfrac{2}{3}t\),
\(\dfrac{1}{2}s=1-t\),
これをといて，
\((s,t)=(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{4})\)
よって，
\(\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{1}{4}\vec{b}\)
有名な問題なので，
いろいろな見方がある。
① ② は
\(\overrightarrow{\rm AP}=s\overrightarrow{\rm AD}\) …⑤
\(\overrightarrow{\rm BP}=t\overrightarrow{\rm BC}\) …⑥
とおくことと同じである。
① (または ⑤)より
\(\overrightarrow{\rm OP}=(1-s)\overrightarrow{\rm OA}
+s\overrightarrow{\rm OD}\) … ⑦
\(\overrightarrow{\rm OD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OB}\)
\(\overrightarrow{\rm OA}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\rm OC}\) だから
⑦ を \(\overrightarrow{\rm OB}\), \(\overrightarrow{\rm OC}\)
で書き換えて
\(\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{3}{2}(1-s)\overrightarrow{\rm OC}
+\dfrac{1}{2}s\overrightarrow{\rm OB}\)
P は BC 上にあるから，
\(\dfrac{3}{2}(1-s)+\dfrac{1}{2}s=1\)
これをといて，\(s=\dfrac{1}{2}\)
\(\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OA}
+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OD}\)
i.e.
\(\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{1}{4}\vec{b}\)