160515 初版 160515 更新
集合A, B をともに整数全体の集合とします。
Aの要素 a に対して B の要素 4a を対応させます。
この対応を f として，f(a) = 4a と書きます。
集合 A の要素から 集合 B の要素への対応 f で，
A の要素に対して，B の要素が1つだけ決まるとき，
f は関数であるといいます。
写像であるともいいます。
f(a) を a の像といいます。
a ≠ b ならば f(a) ≠ f(b) が成り立つとき，
f は単射であるといいます。
対偶
をとると，
単射であるとは，
f(a) = f(b) ならば a = b が成り立つことだといえます。
B の要素 b に対して，f(a) = b なる A の要素 a があるならば，
a を b の逆像といいます。
f が単射ならば，b の逆像が1つに決まるので，
f の逆対応は写像になります。
この対応 b↦ a を逆写像といい f
-1 と書きます。
B の任意の要素に対して逆像が存在するとき，
f は 全射であるといいます。
f の像が B 全体にわたるということです。
この例では，f は単射ですが，全射ではありません。
数列は自然数の集合 \(\mathbb{N}\) から 実数の集合への写像とみることができます。
集合S, T を
S = {4n| n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} すなわち {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}
T = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} とします。
S の要素 a に対して T の要素 「a を 7 で割った余り」を対応させます。
S の2つの要素 a, b に対して，
a, b を 7 で割った余りが等しいことは，
a - b = 7k なる整数 k があることと同じことです。
このとき，a = 4a', b = 4b' とすると，
4(a' - b') = 7k.
ここで，0 ≦ a' - b' < 7, 4 と 7 は互いに素ですから，
a' = b' となります。
したがって，この対応は単射です。
S, T は要素の個数が等しいですから，
単射ならば全射になります。
逆も成り立ちます。このことは鳩の巣原理と呼ばれています。
このとき，T の任意の要素に逆像があります。
実際，
| S |
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
28 |
| T |
4 |
1 |
5 |
2 |
6 |
3 |
0 |
集合S, T を
S = \(\mathbb{Z}\) (整数全体),
T = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} とします。
S の要素 a に対して T の要素 「4a を 7 で割った余り」を対応させます。
先ほどの考察により，この対応は全射です。
つまり，T の任意の要素に逆像があります。
集合S, T を
S = {4n| n=1, 2, 3, 4, 5, 6} すなわち {4, 8, 12, 16, 20, 24}
T = {0, 1, 2, 3, 4, 5} とします。
S の要素 a に対して T の要素 「a を 6 で割った余り」を対応させます。
この対応は単射ではありません。
したがって，全射でもありません。
実際，
| S |
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
| T |
4 |
2 |
0 |
4 |
2 |
0 |