a を n個掛け合わせたものを，a の n乗といいます。
実数 x に対して x
2の対応① を考えます。
| x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| x2 |
9 |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
このとき，定義域をすべての実数とすると，
値域は0 以上の実数になります。
この逆対応を平方根(2乗根)といいます。
すなわち，4の平方根は2, -2,
9の平方根は3, -3,
0の平方根は0 です。
2の平方根は有理数ではありません。
平方根のうち正の数を \(\sqrt{2}\) と書くと, 負の数は \(-\sqrt{2}\) です。
16の正の平方根は \(\sqrt{16}\) と書くことができますが，
これは有理数で \(\sqrt{16}=4\)
一般に，a の平方根のうちの1つを \(\sqrt{a}\) と書きます。
a が 正の数であればこれは正の数です。
対応① の値域に負の数はありませんので，
a が 負の数であれば，これは実数ではありません。
\(\left(\sqrt{a}\right)^2=a\), \(\left(-\sqrt{a}\right)^2=a\)
実数 x に対して x
3の対応② を考えます。
| x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| x3 |
-27 |
-8 |
-1 |
0 |
1 |
8 |
27 |
64 |
125 |
このとき，定義域をすべての実数とすると，
値域もすべての実数になります。
この逆対応を立方根(3乗根)といいます。
すなわち，8の立方根は2,
-8の立方根は-2,
0の立方根は0 です。
2の立方根は実数ではありません。
これを\(\sqrt[3]{2}\) と書くことにします。
27の立方根は \(\sqrt[3]{27}\) と書くことができますが，
これは有理数で \(\sqrt[3]{27}=3\)
一般に，a の立方根を \(\sqrt[3]{a}\) と書きます。
a が 正の数であればこれは正の数です。
a が 負の数であれば負の数です。
例えば，方程式\(x^3=2\) の1つの解は
\(x=\sqrt[3]{2}\) ですが，他に2つ虚数解があります。