n乗根

　a を n個掛け合わせたものを，a の n乗といいます。 実数 x に対して x²の対応① を考えます。

x	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
x2	9	4	1	0	1	4	9	16	25

このとき，定義域をすべての実数とすると， 値域は0 以上の実数になります。
　この逆対応を平方根(2乗根)といいます。 すなわち，4の平方根は2, -2,  9の平方根は3, -3,  0の平方根は0 です。
2の平方根は有理数ではありません。 平方根のうち正の数を $\sqrt{2}$ と書くと, 負の数は $-\sqrt{2}$ です。 16の正の平方根は $\sqrt{16}$ と書くことができますが， これは有理数で $\sqrt{16}=4$
一般に，a の平方根のうちの1つを $\sqrt{a}$ と書きます。 a が 正の数であればこれは正の数です。 対応① の値域に負の数はありませんので， a が 負の数であれば，これは実数ではありません。
$\left(\sqrt{a}\right)^2=a$, $\left(-\sqrt{a}\right)^2=a$

　$\sqrt{2}$ はいくらでしょうか。 実数の小数展開は別の機会に考えてみることにします。

　実数 x に対して x³の対応② を考えます。

x	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
x3	-27	-8	-1	0	1	8	27	64	125

このとき，定義域をすべての実数とすると， 値域もすべての実数になります。
　この逆対応を立方根(3乗根)といいます。 すなわち，8の立方根は2,   -8の立方根は-2,  0の立方根は0 です。
2の立方根は実数ではありません。 これを$\sqrt[3]{2}$ と書くことにします。 27の立方根は $\sqrt[3]{27}$ と書くことができますが， これは有理数で $\sqrt[3]{27}=3$
一般に，a の立方根を $\sqrt[3]{a}$ と書きます。 a が 正の数であればこれは正の数です。 a が 負の数であれば負の数です。
例えば，方程式$x^3=2$ の1つの解は $x=\sqrt[3]{2}$ ですが，他に2つ虚数解があります。