三角比定義の拡張 181007

直線上に2点O, A をとります。
点O を中心，線分OA を半径とする円を考えます。
円周上に点P をとり，直線OA に垂線PH を下ろします。
角POH を θ とします。

いま，θ は鋭角であるとします。
直角三角形OPH において，角θ の三角比の値は次のように定義されていました。
\(\sin \theta=\dfrac{\rm PH}{\rm OP}\)
\(\cos \theta=\dfrac{\rm OH}{\rm OP}\)
\(\tan \theta=\dfrac{\rm PH}{\rm OH}\)

これは，次のように見ることができます。
sin θ は線分OPの長さに対する点Pの直線OAからの高さの比
cos θ は線分OPの長さに対する線分OPの直線OAへの射影の長さの比
tan θ は直線OAに対する直線OPの傾き

θ は鈍角とします。
上述の見方を採用して，直角三角形OPH において，角θ の三角比の定義を次のように拡張します。
\(\sin \theta=\dfrac{\rm PH}{\rm OP}\)
\(\cos \theta=-\dfrac{\rm OH}{\rm OP}\)
\(\tan \theta=-\dfrac{\rm PH}{\rm OH}\)

θ を鈍角(点P が第2象限にある)とすると
点Pの直線OAからの高さは直線OA の上方にあるから，正弦は鈍角でも同じく正の値
線分OPの直線OAへの射影は O より右にあったものが左にあるから，余弦は鈍角では負の値
直線OPの傾きは右下がりの直線だから，正接は鈍角では負の値

この定義により，直ちに
sin(180° - θ) = sin θ
cos(180° - θ) = -cos θ
tan(180° - θ) = -tan θ
これらを補角の公式と呼ぶことにします。
公式というより，定義の一部のような気がしています。

点P を移動させ，θ の大きさを大きくすると，
sin θ の値は，
θ が鋭角である間は増加，鈍角である間は減少，
θ = 90° で最大値 1 をとります。
θ = 0°, 180° で最小値 0 をとります。
cos θ の値は，減少します。 θ が鋭角である間は正の値，鈍角である間は負の値をとります。
θ = 0° で最大値 1 をとります。
θ = 180° で最小値 -1 をとります。
tan θ の値は，
θ が鋭角である間は正の値をとりながら増加，鈍角である間は負の値をとりながら増加，
最大値，最小値はありません。

有名角の三角比
sin 0° = 0, cos 0° = 1, tan 0° = 0
sin 90° = 1, cos 90° = 0, sin 180° = 0, cos 180° = -1, tan 180° = 0
sin 120° = \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), cos 120° = \(-\dfrac{1}{2}\), tan 120° = \(-\sqrt{3}\)
sin 135° = \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), cos 135° = \(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), tan 135° = -1
sin 150° = \(\dfrac{1}{2}\), cos 150° = \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), tan 150° = \(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
これらの値に習熟していると問題を解くのに便利ですが，有名角だけなら 1 : \(\sqrt{3}\) : 2, 1 : 1 : \(\sqrt{2}\) を唱えていればなんとかなるので，ちょっとガラパゴス数学のような気がしています。

三角比 定義の拡張

三角比定義の拡張