点の存在範囲 2

三角形OAB があって， s, t が，
s + t = 2, s ≧ 0, t ≧ 0 を満たすとき，
$\overrightarrow{\rm OP} =s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}$
である点P の存在範囲を考えてみます。

$\overrightarrow{\rm OP}$ を $s\overrightarrow{\rm OA}$ と $t\overrightarrow{\rm OB}$ の継ぎ足しとみます。
$\overrightarrow{\rm OA^\prime}=2\overrightarrow{\rm OA}$, $\overrightarrow{\rm OB^\prime}=2\overrightarrow{\rm OB}$ となる，A', B' をとります。
C, D を 直線 OA, OB 上に，OC = s OA, OD = t OB にとって，
四角形OCPD は平行四辺形となります。

P が 線分A'B' 上にあるならば，s, t は正の数です。
△CA'P と △OAB は相似で，相似比は t : 1 ですので，CA' = t OA
△DPB' と △OAB は相似で，相似比は s : 1 ですので，DB' = s OB
よって，s + t = 2 が成り立ちます。
逆に，s + t = 2 ならば， P は 直線A'B' 上にあることがいえます。

式で説明してみます。
$\overrightarrow{\rm OP} =s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}$
$=\left(\dfrac{1}{2}s\right)\left(2\overrightarrow{\rm OA}\right) +\left(\dfrac{1}{2}t\right)\left(2\overrightarrow{\rm OB}\right)$
s + t = 2 ならば，$\dfrac{1}{2}s+\dfrac{1}{2}t=1$ だから，
P は 直線A'B' 上にある。

s + t = 1,  2s + t = 1