170910 初版 170910 更新
三角形OAB があって，
s, t が，
s + t = 2, s ≧ 0, t ≧ 0 を満たすとき，
\(\overrightarrow{\rm OP}
=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\)
である点P の存在範囲を考えてみます。
\(\overrightarrow{\rm OP}\) を
\(s\overrightarrow{\rm OA}\) と
\(t\overrightarrow{\rm OB}\) の継ぎ足しとみます。
\(\overrightarrow{\rm OA^\prime}=2\overrightarrow{\rm OA}\),
\(\overrightarrow{\rm OB^\prime}=2\overrightarrow{\rm OB}\)
となる，A', B' をとります。
C, D を 直線 OA, OB 上に，OC = s OA, OD = t OB にとって，
四角形OCPD は平行四辺形となります。
P が 線分A'B' 上にあるならば，s, t は正の数です。
△CA'P と △OAB は相似で，相似比は t : 1 ですので，CA' = t OA
△DPB' と △OAB は相似で，相似比は s : 1 ですので，DB' = s OB
よって，s + t = 2 が成り立ちます。
逆に，s + t = 2 ならば，
P は 直線A'B' 上にあることがいえます。
式で説明してみます。
\(\overrightarrow{\rm OP}
=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\)
\(=\left(\dfrac{1}{2}s\right)\left(2\overrightarrow{\rm OA}\right)
+\left(\dfrac{1}{2}t\right)\left(2\overrightarrow{\rm OB}\right)\)
s + t = 2 ならば，\(\dfrac{1}{2}s+\dfrac{1}{2}t=1\) だから，
P は 直線A'B' 上にある。