170910 初版 170910 更新
三角形OAB があって，
s, t が，
2s + t = 1, s ≧ 0, t ≧ 0 を満たすとき，
\(\overrightarrow{\rm OP}
=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\)
である点P の存在範囲を考えてみます。
\(\overrightarrow{\rm OP}\) を
\(s\overrightarrow{\rm OA}\) と
\(t\overrightarrow{\rm OB}\) の継ぎ足しとみます。
\(\overrightarrow{\rm OA^\prime}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OA}\)
なる 点 A' をとります。
C, D を 直線 OA, OB 上に，OC = s OA, OD = t OB にとって，
四角形OCPD は平行四辺形となります。
P が 線分A'B 上にあるならば，s, t は正の数です。
△CA'P と △OA'B は相似で，相似比は t : 1 ですので，CA' = \(\dfrac{1}{2}\)t OA
△DPB と △OA'B は相似で，相似比は s : \(\dfrac{1}{2}\) ですので，DB = 2s OB
よって，2s + t = 1 が成り立ちます。
逆に，2s + t = 1 ならば，
P は 直線A'B 上にあることがいえます。
式で説明してみます。
\(\overrightarrow{\rm OP}
=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\)
\(=\left(2s\right)\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OA}\right)+t\overrightarrow{\rm OB}\)
2s + t = 1 ならば，P は 直線A'B 上にある。