171105 初版 171105 更新
平面OAB があるとき，
点C から 平面OAB 上の点Hに 垂線 CH を引きます。
ベクトルCH は 平面の法線ベクトルへの
正射影ベクトルです。
\(\overrightarrow{\rm OA}=\vec{a}\),
\(\overrightarrow{\rm OB}=\vec{b}\),
\(\overrightarrow{\rm OC}=\vec{c}\) とします。
\(\overrightarrow{\rm OH}=s\vec{a}+t\vec{b}\) なる s, t があります。
\(\overrightarrow{\rm CH}\cdot\vec{a}=0\)ですから
\(s\vec{a}\cdot\vec{a}+t\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}\)
同様に，
\(\overrightarrow{\rm CH}\cdot\vec{b}=0\)ですから
\(s\vec{a}\cdot\vec{b}+t\vec{b}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}\)
\(\Delta=(\vec{a}\cdot\vec{a})(\vec{b}\cdot\vec{b})-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2\) とおいて，
\(s=\dfrac{(\vec{b}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{c})
-(\vec{a}\cdot\vec{b})(\vec{b}\cdot\vec{c})}{\Delta}\),
\(t=\dfrac{(\vec{a}\cdot\vec{a})(\vec{b}\cdot\vec{c})
-(\vec{a}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{c})}{\Delta}\)
\({\rm CH}^2=\overrightarrow{\rm CH}\cdot\overrightarrow{\rm CO}\)
\(=(s\vec{a}+t\vec{b}-\vec{c})\cdot(-\vec{c})\)
これで垂線の長さCHを求めることができました。