170809 初版 170809 更新
a を実数の定数とする。
a > 1 のとき，x についての方程式 sin x = a の解はありません。
a < -1 のとき，x についての方程式 sin x = a の解はありません。
方程式 sin x = 1 の解は
n を任意の整数として， \(x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\)
sin x の周期 2π の中では 1つしかありません。
方程式 sin x = -1 の解は
n を任意の整数として， \(x=\dfrac{3}{2}\pi+2\pi n\)
sin x の周期 2π の中では 1つしかありません。
-1 < a < 1 のとき，
方程式 sin x = a の解は
sin x の周期 2π の中では 2つある。
XY平面において，直線 Y = a と単位円との共有点を考えるとよいでしょう。
方程式 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) の解は
一般に，n を任意の整数として，
\(x = \dfrac{\pi}{6}+2\pi n\) または \(\dfrac{5}{6}\pi+2\pi n\)
\(0\leqq x < 2\pi\) では，
\(x = \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5}{6}\pi\)
不等式 \(\sin x > \dfrac{1}{2}\) の解は
一般に，n を任意の整数として，
\(\dfrac{\pi}{6}+2\pi n < x < \dfrac{5}{6}\pi+2\pi n\)
\(0\leqq x < 2\pi\) では，
\(\dfrac{\pi}{6} < x < \dfrac{5}{6}\pi\)
不等式 \(\sin x < \dfrac{1}{2}\) の解は
一般に，n を任意の整数として，
\(\dfrac{5}{6}\pi+2\pi n < x < \dfrac{13}{6}\pi+2\pi n\)
\(0\leqq x < 2\pi\) では，
\(0\leqq x < \dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{5}{6}\pi < x < 2\pi\)
方程式 \(\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}\) の解は
一般に，n を任意の整数として，
\(x+\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{6}+2\pi n\) または \(\dfrac{5}{6}\pi+2\pi n\)
すなわち，
\(x= \dfrac{-1+24n}{12}\pi\) または \(\dfrac{7+24n}{12}\pi\)
\(0\leqq x < 2\pi\) では，
\(x = \dfrac{7}{12}\pi,\ \dfrac{23}{12}\pi\)
不等式 \(\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) > \dfrac{1}{2}\) の解は
一般に，n を任意の整数として，
\(\dfrac{\pi}{6}+2\pi n< x+\dfrac{\pi}{4} <\dfrac{5}{6}\pi+2\pi n\)
すなわち，
\(\dfrac{-1+24n}{12}\pi < x < \dfrac{7+24n}{12}\pi\)
\(0\leqq x < 2\pi\) では，
\(0\leqq x < \dfrac{7}{12}\pi\),
\(\dfrac{23}{12}\pi < x < 2\pi\)
不等式 \(\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) < \dfrac{1}{2}\) の解は
一般に，n を任意の整数として，
\(\dfrac{5}{6}\pi+2\pi n< x+\dfrac{\pi}{4} <\dfrac{13}{6}\pi+2\pi n\)
すなわち，
\(\dfrac{7+24n}{12}\pi < x < \dfrac{23+24n}{12}\pi\)
\(0\leqq x < 2\pi\) では，
\(\dfrac{7}{12}\pi < x < \dfrac{23}{12}\pi\)