tanの方程式・不等式

円を使うと難しいと感じる tan の方程式・不等式にはコツがあります。 見方を変えると，正接が一番わかりやすいです。
それは まずは，漸近線の間の1周期，例えば \(-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}\) で考えることです。
この区間では，tan x は単調に増加する関数ですから， すごく単純に考えることができます。

tan x はどんな実数の値でもとりますから， 任意の実数 a に対して， tan x = a なる x は少なくとも１つあります。
ちゃんというと，1周期に1つだけあります。

方程式 tan x = 1 の解は
n を任意の整数として， \(x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n\)
tan x の周期 π の中では 1つしかありません。

不等式 tan x > 1 の解は
一般に，n を任意の整数として，
\(\dfrac{\pi}{4}+\pi n < x < \dfrac{\pi}{2}+\pi n\)
\(0\leqq x < 2\pi\) では，
\(\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{5}{4}\pi < x < \dfrac{3}{2}\pi\)

不等式 tan x < 1 の解は
一般に，n を任意の整数として，
\(-\dfrac{\pi}{2}+\pi n < x < \dfrac{\pi}{4}+\pi n\)
\(0\leqq x < 2\pi\) では，
\(0\leqq x < \dfrac{\pi}{4}\), \(\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{5}{4}\pi\), \(\dfrac{3}{2}\pi < x < 2\pi\)

方程式 \(\tan \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right) = 1\) の解は
一般に，n を任意の整数として，
\(x+\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{4}+\pi n\)
すなわち，
\(x= \dfrac{-1+12n}{12}\pi\)
\(0\leqq x < 2\pi\) では，
\(x = \dfrac{11}{12}\pi,\ \dfrac{23}{12}\pi\)

不等式 \(\tan \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right) > 1\) の解は
一般に，n を任意の整数として，
\(\dfrac{\pi}{4}+\pi n< x+\dfrac{\pi}{3} < \dfrac{\pi}{2}+\pi n\)
すなわち，
\(\dfrac{-1+12n}{12}\pi < x < \dfrac{1+6n}{6}\pi\)
\(0\leqq x < 2\pi\) では，
\(0\leqq x < \dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{11}{12}\pi < x < \dfrac{7}{6}\pi\), \(\dfrac{23}{12}\pi < x < 2\pi\)

不等式 \(\tan \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right) < 1\) の解は
一般に，n を任意の整数として，
\(-\dfrac{\pi}{2}+\pi n< x+\dfrac{\pi}{3} < \dfrac{\pi}{4}+\pi n\)
すなわち，
\(\dfrac{-5+6n}{6}\pi < x < \dfrac{-1+12n}{12}\pi\)
\(0\leqq x < 2\pi\) では，
\(\dfrac{\pi}{6} < x < \dfrac{11}{12}\pi\), \(\dfrac{7}{6}\pi < x < \dfrac{23}{12}\pi\)