tanの方程式・不等式

円を使うと難しいと感じる tan の方程式・不等式にはコツがあります。 見方を変えると，正接が一番わかりやすいです。
それは まずは，漸近線の間の1周期，例えば $-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}$ で考えることです。
この区間では，tan x は単調に増加する関数ですから， すごく単純に考えることができます。

tan x はどんな実数の値でもとりますから， 任意の実数 a に対して， tan x = a なる x は少なくとも１つあります。
ちゃんというと，1周期に1つだけあります。

方程式 tan x = 1 の解は
n を任意の整数として， $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n$
tan x の周期 π の中では 1つしかありません。

不等式 tan x > 1 の解は
一般に，n を任意の整数として，
$\dfrac{\pi}{4}+\pi n < x < \dfrac{\pi}{2}+\pi n$
$0\leqq x < 2\pi$ では，
$\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{5}{4}\pi < x < \dfrac{3}{2}\pi$

不等式 tan x < 1 の解は
一般に，n を任意の整数として，
$-\dfrac{\pi}{2}+\pi n < x < \dfrac{\pi}{4}+\pi n$
$0\leqq x < 2\pi$ では，
$0\leqq x < \dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{5}{4}\pi$, $\dfrac{3}{2}\pi < x < 2\pi$

方程式 $\tan \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right) = 1$ の解は
一般に，n を任意の整数として，
$x+\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{4}+\pi n$
すなわち，
$x= \dfrac{-1+12n}{12}\pi$
$0\leqq x < 2\pi$ では，
$x = \dfrac{11}{12}\pi,\ \dfrac{23}{12}\pi$

不等式 $\tan \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right) > 1$ の解は
一般に，n を任意の整数として，
$\dfrac{\pi}{4}+\pi n< x+\dfrac{\pi}{3} < \dfrac{\pi}{2}+\pi n$
すなわち，
$\dfrac{-1+12n}{12}\pi < x < \dfrac{1+6n}{6}\pi$
$0\leqq x < 2\pi$ では，
$0\leqq x < \dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{11}{12}\pi < x < \dfrac{7}{6}\pi$, $\dfrac{23}{12}\pi < x < 2\pi$

不等式 $\tan \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right) < 1$ の解は
一般に，n を任意の整数として，
$-\dfrac{\pi}{2}+\pi n< x+\dfrac{\pi}{3} < \dfrac{\pi}{4}+\pi n$
すなわち，
$\dfrac{-5+6n}{6}\pi < x < \dfrac{-1+12n}{12}\pi$
$0\leqq x < 2\pi$ では，
$\dfrac{\pi}{6} < x < \dfrac{11}{12}\pi$, $\dfrac{7}{6}\pi < x < \dfrac{23}{12}\pi$