三角関数の方程式・不等式 2倍角

cos 2θ = sin θ …① を満たす θ の値を求めてみよう。
2倍角の公式により， cos 2θ = 1 - 2 sin² θ だから
方程式① は \(2\sin^2\theta+\sin\theta-1=0\)
この左辺は \((2\sin\theta-1)(\sin\theta+1)\) と分解できるから
したがって，一般に n を整数として，
\(\theta = \dfrac{\pi}{6}+2\pi n\), \(\dfrac{5}{6}\pi+2\pi n\), \(\dfrac{3}{2}\pi+2\pi n\)

cos 2θ > sin θ …② を満たす θ の値を求めてみよう。
2倍角の公式により， cos 2θ = 1 - 2 sin² θ だから
不等式② は \(2\sin^2\theta+\sin\theta-1<0\)
この左辺は \((2\sin\theta-1)(\sin\theta+1)\) と分解できるから
\(-1< \sin\theta < \dfrac{1}{2}\)
したがって，一般に n を整数として，
\(\dfrac{5}{6}\pi+2\pi n < \theta < \dfrac{13}{6}+2\pi n\)

sin 2θ = cos θ …③ を満たす θ の値を求めてみよう。
2倍角の公式により， sin 2θ = 2 sin θ cos θ だから
方程式③ は cos θ (2 sin θ - 1) = 0
したがって，一般に n を整数として，
\(\theta = \dfrac{\pi}{6}+2\pi n\), \(\dfrac{5}{6}\pi+2\pi n\), \(\dfrac{\pi}{2}+\pi n\)

sin 2θ > cos θ …④ を満たす θ の値を求めてみよう。
2倍角の公式により， sin 2θ = 2 sin θ cos θ だから
不等式④ は cos θ (2 sin θ - 1) > 0
すなわち，
cos θ > 0 かつ \(\sin\theta > \dfrac{1}{2}\)
または
cos θ < 0 かつ \(\sin\theta < \dfrac{1}{2}\)
したがって，一般に n を整数として，
\(\dfrac{\pi}{6}+2\pi n < \theta < \dfrac{\pi}{2}+2\pi n\), \((1+2n)\pi < \theta < \dfrac{3}{2}\pi+2\pi n\)