170828 初版 170828 更新
θ についての方程式 cos 2θ - sin θ = a … ① がある。
0 ≦ θ < 2π の範囲で，
この方程式の解がちょうど2個 あるような定数 a の値の範囲を求めよ。
\(y=\cos 2\theta - \sin\theta\) とおきます。
\(\sin\theta = t\) とおくと，
\(y=-2t^2-t+1\)
定数 a に対して，等式 -2t2 - t + 1 = a … ② を満たす t について考えます。
例えば，判別式をつかってみると，
方程式 ② の判別式は -8a + 9 ですから，
a が \(\dfrac{9}{8}\)より小さいとき 異なる2つの実数解をもちます。
これでは，解答としては不十分です。
このことは，
a が \(\dfrac{9}{8}\) より小さい ならば，
等式 ② を満たす 実数 t が異なる2つある ということ
a が \(\dfrac{9}{8}\) より大きい ならば，
等式 ② を満たす 実数 t はない ということ
を言っているにすぎません。
おおもとの問題は，① を満たす θ の個数を問うています。
(しかも，θ の範囲は限られています。)
例えば，
a = 1 のとき，t は 0, \(-\dfrac{1}{2}\) の2個ですが，
θ は この範囲で 4個です。
a = 0 のとき，t は -1, \(\dfrac{1}{2}\) の2個ですが，
θ は 3個，
a = -5 のとき，t は -2, \(\dfrac{3}{2}\) の2個ですが，
θ は 0個です。
② を満たす実数 t があるだけでなく，
どんな値かが気になります。
そこで，t に対する，-2t2 - t + 1 = f(t) の値を調べます。
\(f(t) =-2\left(t+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{9}{8}\)
\(t< -1\) ならば \(f(t)<0\)
\(t = -1\) ならば \(f(t)=0\)
\(-1 < t< 1\) ならば \(-2 < f(t)<\dfrac{9}{8}\)
\(t= 1\) ならば \(f(t)=-2\)
\(t> 1\) ならば \(f(t)<-2\)
であることがわかります。
したがって，
\(0 < a<\dfrac{9}{8}\) ならば
\(-1< t < 1\) なる 異なる t が 2つ あります。
また，
\(a=\dfrac{9}{8}\) ならば
\(-1< t < 1\) なる t が 1つだけ あります。
(具体的には\(-\dfrac{1}{4}\))
t < -1, 1 < t のとき，θ はこの範囲で 0 個，
t = -1, 1 なる t は t ひとつにつき，θ はこの範囲で 1 個，
-1 < t < 1 なる t は t ひとつにつき，θ はこの範囲で 2 個
以上より，
① を満たす θ はちょうど2個あるのは，
\(-2< a < 0\) または \(a=\dfrac{9}{8}\)のときです。
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t
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…
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-1
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…
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\(-\dfrac{1}{4}\)
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…
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1
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…
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|
f(t)
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↗
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0
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↗
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\(\dfrac{9}{8}\)
|
↘
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-2
|
↘
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|
θ
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0 個
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1 個
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2 個
|
2 個
|
2 個
|
1 個
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0 個
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