161225 初版 161225 更新
f(x) = 2x + 1 とします。
直線 y = f(x) と x 軸，
2点 (a, 0), (a, f(a)) を結ぶ線分 La,
2点 (x, 0), (x, f(x)) を結ぶ線分 Lx で
囲まれた部分の面積 S(x) を求めてみます。
台形の面積の公式によって，
\(S(x) = (x - a)(x + a + 1)\)
\(=x^2+x-a^2-a\)
f(x) = 2x2 とします。
曲線 y = f(x) と x 軸，
2点 (a, 0), (a, f(a)) を結ぶ線分 La,
2点 (x, 0), (x, f(x)) を結ぶ線分 Lx で
囲まれた部分の面積 S(x) を求めてみます。
自然数 n に対して，
\(x_0=a\), \(x_k=a+k\varDelta x\) (k=1, 2, 3, … n) とします。
ここで，\(\varDelta x = \dfrac{x-a}{n}\)
\(\displaystyle{S_1(x)=\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\varDelta x}\),
\(\displaystyle{S_2(x)=\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\varDelta x}\)
とおきます。今の場合
Δx > 0 とすると，
今の場合， 0 と Δx の間の 任意の h に対して，
f(x) < f(x + h) < f(x+ Δx) が成り立つので，
\(S_1(x)\lt S(x) \lt S_2(x)\) が成り立ちます。
\(\displaystyle{S_1(x)=\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\varDelta x}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=0}^{n-1}2(a+k\varDelta x)^2\varDelta x}\)
\(=2a^2(x-a)+2a(1-\dfrac{1}{n})(x-a)^2+\dfrac{1}{3}(1-\dfrac{1}{n})(2-\dfrac{1}{n})(x-a)^3\)
\(\displaystyle{S_2(x)=\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\varDelta x}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}2(a+k\varDelta x)^2\varDelta x}\)
\(=2a^2(x-a)+2a(1+\dfrac{1}{n})(x-a)^2+\dfrac{1}{3}(1+\dfrac{1}{n})(2+\dfrac{1}{n})(x-a)^3\)
n を 限りなく大きくすると，S(x) は収束して，
\(S(x) = \dfrac{2}{3}(x^3-a^3)\)