161227 初版 161227 更新
関数 f(x) が 定義域内の x = α で
連続とは高校ではグラフがつながっているという理解で十分です。
f(α) が存在しなければ，
x = α は定義域ではありません。
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\alpha}f(x)}\)
が存在しなければ，すなわち
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\alpha+0}f(x)}\),
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\alpha-0}f(x)}\)
が一致しなければ，グラフはつながりません。
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\alpha}f(x)}\)
が存在したとしても，
それが f(α) と一致しなければ，やはりグラフはつながりません。
x = α でグラフがつながっていることを数式で表すと，
次の3つの値が存在して，一致していることです。
\(f(\alpha)\),
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\alpha+0}f(x)}\),
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\alpha-0}f(x)}\)
高校ではこの程度で十分です。
閉区間 a ≦ x ≦ b で 関数 f(x) が連続であるとは，
区間内でグラフがつながっていることをいいます。
すなわち，区間内の任意の α で，
次の3つの値が存在して，一致していることです。
\(f(\alpha)\),
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\alpha+0}f(x)}\),
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\alpha-0}f(x)}\)
閉区間 a ≦ x ≦ b で 関数 f(x) が連続であり，
しかも，f(a) < f(b) であるとします。
このとき，f(a) ≦ γ ≦ f(b) なる任意の γ に対して，
f(c) = γ, a ≦ c ≦ b なる c が少なくとも一つあります。
このことを中間値の定理といいます。