161225 初版 170423 更新
関数の値の変化を捉えよう という目的をもつ数学の分野が，
解析学 だと思います。
増減，とりうる値の範囲，値域，最大・最小 がキーワードとなります。
f(x) = x2 - x とします。
x = 1 付近では増加でしょうか，減少でしょうか。
このような問題を考えてみましょう。
数列と関数は似ています。
数列の規則性を見抜くために，自然と隣りの項との差をとります。
ちゃんとした用語を使うと階差数列です。
数列は離散的なものですから，「隣り」という考えができます。
関数ではどうすればよいでしょうか。
関数 f(x) は 閉区間 a ≦ x ≦ b において，
連続だと仮定します。
連続とは高校ではグラフがつながっているという理解で十分です。
y = f(x) において，
x が a から b まで変化するとき，
差分 f(b) - f(a) を y の増分と呼び Δy とかきます。
b - a を x の増分と呼び，Δx とかきます。
このとき，\(\dfrac{\varDelta y}{\varDelta x}\) を
x が a から b まで変化したときの，f(x) の平均変化率といいます。
すなわち，
\(\dfrac{\varDelta y}{\varDelta x}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
グラフにおいては，2点A(a, f(a)), B(b, f(b)) を結ぶ
線分ABの傾きになります。
B を A の「隣り」の点としたときの，
x 方向の隔たりが分母，y 方向の隔たりが分子です。
x が 1 から 2 まで変化するときの平均変化率は
\(\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}=2\)
x が 1 から \(\dfrac{3}{2}\) まで変化するときの平均変化率は
\(\dfrac{f(\dfrac{3}{2})-f(1)}{\dfrac{3}{2}-1}=\dfrac{3}{2}\)
x = 1 の「隣り」を x = 1 + h とします。
h が正なら右隣り，負なら左隣りを表すことができます。
x が 1 から 1 + h まで変化するときの平均変化率は
\(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=1+h\) … ①
したがって，小さい正の数 h については この値は正の値なので，
x = 1 付近では増加です。
① において，h を限りなく 0 に近づけたときの，
平均変化率の極限は，
グラフでは A(1, f(1)) における接線の傾きとなります。
解析の言葉では，
x= 1 における f(x) の 変化率 または 微分係数と呼ばれます。
f'(1) とかいて，この場合 1 となります。
\(\displaystyle{f^\prime(1)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}}\)
x = a において，
微分係数 \(\displaystyle{f^\prime(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}\)
が存在するとき，
x = a において，f(x) は微分可能であるといいます。
a に対して f'(a) を対応させることによって，
f(x) から 新しい関数 f'(x) が得られます。
f'(x) を f(x) の導関数といいます。
f から f' を求めることを f を (xで) 微分するといいます。
導関数を \(\dfrac{d}{dx}f(x)\), \(\dfrac{dy}{dx}\) などとかくことがあります。
ライプニッツ流の記法と呼んでいます。
f' の記法をニュートン流の記法と呼んでいます。