200202 初版 200202 更新
コンビニの弁当を買うと，温めに電子レンジで，
500 W なら 4 分 10 秒と書いてありました。
250 秒ですから，
125000 J の熱量が必要だということです。
Mさんの家の電子レンジはポンコツで，
電源を入れたときこそ 700 W の出力ですが，
時間とともに指数関数的に出力が減っていき，4分経つと半分になります。
この電子レンジでは，何秒間加熱すればよいでしょうか。
(電源を切ってすぐには出力700 Wには戻らないです。)
例えば，1分後は出力は\(700\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1/4}\) で 589 W
最初の1分間では最大で42000 J，最小で35340 Jです。
30秒ごとに，ざっくりと計算してみます。
| 時刻(秒) | 出力(W) | 30秒間の熱量の最大値(J) | 最小値(J) | 最大値の計(J) |
| 0 | 700 | 21000 | 19257 | 0 |
| 30 | 642 | 19257 | 17659 | 21000 |
| 60 | 589 | 17659 | 16193 | 40257 |
| 90 | 540 | 16193 | 14849 | 57916 |
| 120 | 495 | 14849 | 13617 | 74109 |
| 150 | 454 | 13617 | 12487 | 88958 |
| 180 | 416 | 12487 | 11450 | 102575 |
| 210 | 382 | 11450 | 10500 | 115062 |
| 240 | 350 | 10500 | 9629 | 126512 |
4 分 くらいだということがわかります。
時刻 t(秒) における出力は
\(700\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/240}\) です。
a = 700 とおきます。
また，
\(\log\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1/240}
=-\dfrac{1}{240}\log 2\) を \(-\mu\) とおきます。
\(\mu=0.00288811\cdots\) くらいです。
すると，時刻 t(秒) における出力を f(t) とおいたとき，
\(f(t)=ae^{-\mu t}\)
時刻 0 から 120 までの熱量を 15 秒ごとの刻みの和で表すと，
f(t) は単調に減少する関数だから，多く見積もって
\(f(0)\cdot 15+ f(15)\cdot 15 + f(30)\cdot 15
+f(45)\cdot 15+ f(60)\cdot 15 + f(75)\cdot 15
+f(90)\cdot 15+ f(105)\cdot 15 + f(120)\cdot 15\)
時刻 0 から x までの熱量を\(\dfrac{x}{n}\) 秒ごとの刻みの和で表すと，
f(t) は単調に減少する関数だから，多く見積もって
\(\displaystyle{
F_n(x)=\sum_{k=0}^{n-1}f\left(t_k\right)\Delta t
}\), ここで \(t_k = \dfrac{x}{n}k\), \(n\cdot \Delta t = x\)
n を限りなく大きくしたときの，
\(F_n(x)\)の極限を考えれば，時刻 0 から x までの熱量を求めることができます。
\(\displaystyle{F(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}F_n(x)}\)
F(x) を f(t) の t = 0 から x までの積分ということにします。