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例えば，x > 0 のときの f(x)=x+4x の値の変化には
このような
現象がある。
現象を数学的に説明することを，私はそのことの数理を探究する，
ということにしている。
発達段階に応じて，また，多角的に説明できたらいいことである。
そのときには，段階に応じた共通の原点(公理のようなこと)までつめればいい。
その公理は段階に応じて変わるのである。
小学生の視点と，中学生の視点と，高校生の視点と，研究者の視点は違ってくるが，
それがスパイラルということなのかもしれない。
最初に理論があるのではなく，現象が出発点である。
でもなぜかその裏に理論が存在している。
それが，不思議であり，面白くもあり，美しくもある。
いくつかの数の和をとって，個数で割ったものを相加平均という。
例えば，2数 a, b の相加平均は a+b2である。
いくつかの数の積をとって，個数乗根をとったものを相乗平均という。
面倒だから，正の数の相乗平均を考えることにする。
例えば，2数 a, b の相乗平均は √abである。
| a |
… |
12 |
1 |
32 |
2 |
52 |
3 |
72 |
… |
| b |
… |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
… |
| 相加平均 |
↗ |
54 |
32 |
74 |
2 |
94 |
52 |
114 |
↗ |
| 相乗平均 |
↗ |
1 |
√2 |
√3 |
2 |
√5 |
√6 |
√7 |
↗ |
次のような関係が成り立つ。
いくつかの正の数があったとき，
相加平均は相乗平均より小さくない。
すなわち，a>0, b>0, のとき，
a+b2≧
説明はいくつかあって，
2次方程式の
実数解条件を使うと，
2つの正の数 a, b が
2次方程式 x^2-px+q=0 の解であるとすると，
p^2-4q\geqq 0 でなければならないが，
p=a+b, q=ab だから，
(a+b)^2\geqq 4ab
よって，a+b\geqq 2\sqrt{ab}
すなわち \dfrac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}
よくあるのは，
どんな正の数 a, b でも
\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\geqq 0
ところで，
\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2=a+b-2\sqrt{ab}
ゆえに，どんな正の数 a, b でも
\dfrac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}