線分の平面における回転の様子を見てみよう。
加法定理
を仮定せず，むしろそれを導いてみよう。
原点をOとして，平面上に点 P(a, b) をとる。
線分OPをOを中心に角α だけ回転する。
(90°の回転は
こちら)
Pに対応する点 P′とする。
A(a, 0), B(0, b) として，
OPを対角線とする長方形OAPBを考える。
線分OAをOを中心に角α だけ回転する。
Aに対応する点 A′とする。
三角比の定義により，
A′の座標は\((a\cos\alpha, a\sin\alpha)\) である。
線分OBをOを中心に角α だけ回転する。
Bに対応する点 B′とする。
三角比の定義により，
B′の座標は\((-b\sin\alpha, b\cos\alpha)\) である。
ベクトルの和の考えを使えば，
P′の座標は，
\((a\cos\alpha-b\sin\alpha, a\sin\alpha+b\cos\alpha)\)
特に，P\((\cos\beta, \sin\beta)\)とすれば，
P′
\((\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,
\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\)
これは，
加法定理に
他ならない。
\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)
\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)