どのくらい公式があるといいのかというのを 知りたいので載せて問題からlinkをはる。
三角関数は回転
(別の導出)
を記述するための道具である。
その観点から加法定理を導いてみる。
正弦定理からの別の導出はこちら。
単位円(原点中心，半径1の円)上，第1象限に2点A, Bをとる。
X(1,0)として，
AはXを原点中心\(\alpha\)だけ回転した点，
BはAをさらに原点中心\(\beta\)だけ回転した点とする。
ただし，\(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}, 0<\beta<\dfrac{\pi}{2}\)とする。
Bから直線OXに垂線BHを下ろす。
三角比の定義により，\({\rm BH}=\sin(\alpha+\beta)\),
\({\rm OH}=\cos(\alpha+\beta)\)である。
Bから直線OAに垂線BKを下ろす。
角OHB, 角OKBはともに直角だから，
4点O, H, K, Bは線分OBを直径(長さ1)とする同一円周上にある。
弧HKの円周角とみて，\(\angle{\rm HOK}=\angle{\rm HBK}=\alpha\)
弧BKの円周角とみて，\(\angle{\rm BOK}=\angle{\rm BHK}=\beta\)
正弦定理
により，\({\rm HK}=\sin\alpha\), \({\rm BK}=\sin\beta\)
また，\({\rm OK}=\cos\beta\)
Kから直線BHに垂線KPを下ろす。
\({\rm HP}=\sin\alpha\cos\beta\),
\({\rm BP}=\sin\beta\cos\alpha\)
よって，
\({\rm BH}={\rm BP}+{\rm PH}=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)
Kから直線OXに垂線KQを下ろす。
\(\angle{\rm HKQ}=\beta\)であるから，
三角形KHQにおいて
\({\rm HQ}=\sin\alpha\sin\beta\)
三角形OKQにおいて
\({\rm OQ}=\cos\alpha\cos\beta\)
よって，
\({\rm OH}={\rm OQ}-{\rm HQ}=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)
この図の点Bは動かすことができる。
マウスをクリックすると，
Oとクリックした点を通る直線と弧XYの交点にBをとる。
\(\alpha\), \(\beta\)が一般の場合は，ごまかすことにする。
正接は相互関係から導出する。