二項定理とパスカルの三角形 1

Processing math: 100%

130815 初版 130815 更新
トップページ

逐次と帰納二項定理とパスカルの三角形 1 二項定理とパスカルの三角形 2

数列などで現れる，逐次，帰納，再帰の考えは，数学的な見方・考え方のうちでも重要である。

(a+b)ⁿ の展開式を考察する。

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

(a+b)⁴ の展開式は，同類項を整理すると，
項は5つあるはずで，

$a^4$ ,

$a^3b$ ,

$a^2b^2$ ,

$ab^3$ ,

$b^4$

$(a+b)^4=(a+b)(a+b)^3=(a+b)(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)$

実験

$a(a+b)^3$ =	a⁴	+3a³b	+3a²b²	+ab³
$b(a+b)^3$ =		a³b	+3a²b²	+3ab³	+b⁴
$(a+b)^4$ =	a⁴	+4a³b	+6a²b²	+4ab³	+b⁴

$(a+b)^n$ の

$a^rb^{n-r}$ の係数を

${}_nK_r$ とかく
どのような特徴があるだろうか。(予想・定式化)

例えば，

(a+b)³	a³	a²b	ab²	b³
係数の記号	₃K₃	₃K₂	₃K₁	₃K₀
係数	1	3	3	1

(a+b)⁴	a⁴	a³b	a²b²	ab³	b⁴
係数の記号	₄K₄	₄K₃	₄K₂	₄K₁	₄K₀
係数	1	4	6	4	1

両端は1 _nK_n = _nK₀ = 1
左右対称 _nK_r = _nK_n-r
r≧2のとき _nK_r = _n-1K_r-1 + _n-1K_r

3つめは例えば， ₄K₃ = ₃K₂ + ₃K₃ ということ

証明は展開の方法より直ち。
係数だけ抜き出せば，次のような三角形の図ができる。

					1		1
				1		2		1
			1		3		3		1
		1		4		6		4		1
	1		5		10		10		5		1
1		6		15		20		15		6		1

これをパスカルの三角形という。