不等式 \(\left|x+1\right|+\left|x-2\right| > 6\)を解け。
\(f(x)=\left|x+1\right|+\left|x-2\right|\)とする。
| x |
… |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
… |
| |x+1| |
… |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
… |
| |x-2| |
… |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
| f(x) |
↘ |
9 |
7 |
5 |
3 |
3 |
3 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
↗ |
\(f(x)=\left|x+1\right|+\left|x-2\right|\)とする。
| x |
… |
-1-a |
… |
-1 |
… |
-1+a |
… |
2-b |
… |
2 |
… |
2+b |
… |
| |x+1| |
↘ |
a |
↘ |
0 |
↗ |
a |
↗ |
3-b |
↗ |
3 |
↗ |
3+b |
↗ |
| |x-2| |
↘ |
3+a |
↘ |
3 |
↘ |
3-a |
↘ |
b |
↘ |
0 |
↗ |
b |
↗ |
| f(x) |
↘ |
3+2a |
↘ |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
↗ |
3+2b |
↗ |
f(x)=6 となる x はふたつある。
f(x)=6 を満たす x をα, β (α < β)とすると，
不等式の解は x < α または β < xである。
ここは，方程式の出番である。
方程式を解くということは，数学のよさのひとつである。
\(x\geqq 2\) において，\(f(x)=(x+1)+(x-2)=2x-1\)
\(-1 < x < 2\) において，\(f(x)=(x+1)-(x-2)=3\)
\(x \leqq -1\) において，\(f(x)=-(x+1)-(x-2)=-2x+1\)
\(x\geqq 2\) かつ \(f(x)=6\) ⇔ \(x\geqq 2\) かつ \(2x-1=6\) すなわち \(x=\dfrac{7}{2}\)
\(-1 < x < 2\) かつ \(f(x)=6\) これを満たす x はない
\(x\leqq -1\) かつ \(f(x)=6\) ⇔ \(x\leqq -1\) かつ \(-2x+1=6\) すなわち \(x=-\dfrac{5}{2}\)
よって，方程式 f(x)=6 の解は \(x=-\dfrac{5}{2}\) または \(\dfrac{7}{2}\)
よって，不等式 f(x) > 6 の解は \(x<-\dfrac{5}{2}\) または \(\dfrac{7}{2}< x\)
また，不等式 \(f(x) \leqq 6\) の解は \(-\dfrac{5}{2} \leqq x \leqq \dfrac{7}{2}\)
補集合の考えも大切である。
不等式の形式的な処理は，気をつけなければならない。
⇔という記号も素人は使わないほうが無難である。
形式的な処理は，意味が分かっている人にしかできないことなのだ。
不等式を解くのは計算だから，正解が出て，
必要に応じて説明ができればよい。
グラフ1 \(y=|x+1|+|x-2|\)
絶対値つづき
グラフと不等式へもどる