131020 初版
数列 {an} の 一般項が
数列 {bn} を使って、
an = bn+1 - bn と表されるならば、
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k}\)
\(=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(b_{k+1}-b_{k})}\)
\(=b_{n+1}-b_{1}\)
Σの性質のみで計算してみよう。
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(b_{k+1}-b_{k})}\)
\(=\displaystyle{\left(\sum_{k=1}^{n}b_{k+1}\right)-\left(\sum_{k=1}^{n}b_{k}\right)}\)
書き下してもいい。
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}b_{k}}\)
\(=b_1+b_2+b_3+\cdots+b_{n-1}+b_{n}\)
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}b_{k+1}}\)
\(=b_2+b_3+b_4+\cdots+b_n+b_{n+1}\)
これから直ちに出てくる。
同じことだが、番号振り替えの原理を使って、
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}b_{k+1}}\)
\(=\displaystyle{\sum_{k=2}^{n+1}b_{k}}\)
\(=\displaystyle{b_{n+1}-b_1+\sum_{k=1}^{n}b_{k}}\)