Processing math: 100%
番号付け替えの原理
n∑k=1ak+1=n+1∑k=2ak
この性質を，番号付け替えの原理と呼ぶことにする。
和が関係する多くのアイディアは，この原理で説明できる。
例1 等比数列の和
Un=n∑k=1rk−1 とおく。
rUn=
n∑k=1rk
=n+1∑k=2rk−1
=rn−1+n∑k=1rk−1
=rn−1+Un
ゆえに，
(r−1)Un=rn−1
例2 階差数列から元の数列の一般項を求める
数列{bn} を
数列{an} の階差数列とする。
すなわち，
bn=an+1−an
このとき，n を 2以上の自然数として
n−1∑k=1bk
=n−1∑k=1(ak+1−ak)
=n−1∑k=1ak+1−n−1∑k=1ak
=n∑k=2ak−n−1∑k=1ak
=an−a1
例3 分数の和
n∑k=11k(k+1)
=n∑k=1(1k−1k+1)
=n∑k=11k−n∑k=11k+1
=n∑k=11k−n+1∑k=21k
=1−1n+1
例4 等差×等比型 基本型
Tn=n∑k=1krk−1,
Un=n∑k=1rk−1 とおく。
rTn=
n∑k=1krk
=n+1∑k=2(k−1)rk−1
=nrn+n∑k=1(k−1)rk−1
=nrn+Tn−Un
ゆえに，
(r−1)Tn=nrn−Un