数列 {an} の 初項から 第n項 までの和を，
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k}\) とかく。
すなわち，
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n}\)
和とは本来は逐次的，帰納・再帰的考えである。
如何にか上手く一気に初項から第 n 項までの和を求めたいと思う。
高校なら，一度といわず何度でも
式でちゃんとやってみたい。
和の定義
\(\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^n a_k}\) とかく。
\(S_{1}=a_1\),
\(n\geqq 2\) のとき \(S_{n}=S_{n-1}+a_n\)
逐次的(successive)計算
\(S_{2}=S_{1}+a_2=a_1+a_2\)
\(S_{3}=S_{2}+a_3=a_1+a_2+a_3\)
\(S_{4}=S_{3}+a_4=a_1+a_2+a_3+a_4\)
\(S_{5}=S_{4}+a_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\)
…
\(S_{n}=S_{n-1}+a_{n}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}a_k+a_n=\sum_{k=1}^{n}a_k}\)
帰納的(inductive) 再帰的(recursive)計算
\(S_{n}=S_{n-1}+a_{n}\)
\(S_{n-1}=S_{n-2}+a_{n-1}\), \(S_{n}=S_{n-2}+a_{n-1}+a_n\)
\(S_{n-2}=S_{n-3}+a_{n-2}\), \(S_{n}=S_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n\)
…
\(S_{3}=S_{2}+a_{3}\), \(S_{n}=S_{2}+\displaystyle{\sum_{k=3}^{n}a_k}\)
\(S_{2}=a_{1}+a_{2}\), \(S_{n}=a_{1}+\displaystyle{\sum_{k=2}^{n}a_k=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k}}\)
\(S_{2}-a_{1}=a_2\)
\(S_{3}-S_{2}=a_3\)
\(S_{4}-S_{3}=a_4\)
\(S_{5}-S_{4}=a_5\)
…
\(S_{n}-S_{n-1}=a_n\)
両辺それぞれ和を取る。
\(S_{n}-a_{1}=a_2+a_3+\cdots+a_{n}\)
すなわち，\(S_{n}=a_{1}+a_2+a_3+\cdots+a_n\)
表では
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
\(n\) |
| an |
\(a_1\) |
\(a_2\) |
\(a_3\) |
\(a_4\) |
… |
\(a_n\) |
| Sn |
\(a_1\) |
\(S_1+a_2\) |
\(S_2+a_3\) |
\(S_3+a_4\) |
… |
\(S_{n-1}+a_n\) |