分数の和

141109 初版 141109 更新
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\(\displaystyle{S_n=\dfrac{1}{1\cdot 2}+ \dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\cdots+ \dfrac{1}{n(n+1)}}\)

この和を一気に求める。そのアイディアを学ぼう。
このアイディアは汎用性がある。

恒等式 \(\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\) を使う。 (有名な変形)
この恒等式次第で, いろいろな数列の和を求めることができる。

	\(\dfrac{1}{k(k+1)}\)	=	\(\dfrac{1}{k}\)	-	\(\dfrac{1}{k+1}\)
k=1	\(\dfrac{1}{1\cdot 2}\)	=	1	-	\(\dfrac{1}{2}\)
k=2	\(\dfrac{1}{2\cdot 3}\)	=	\(\dfrac{1}{2}\)	-	\(\dfrac{1}{3}\)
k=3	\(\dfrac{1}{3\cdot 4}\)	=	\(\dfrac{1}{3}\)	-	\(\dfrac{1}{4}\)
k=4	\(\dfrac{1}{4\cdot 5}\)	=	\(\dfrac{1}{4}\)	-	\(\dfrac{1}{5}\)
…	…	…	…	…	…
k=n	\(\dfrac{1}{n(n+1)}\)	=	\(\dfrac{1}{n}\)	-	\(\dfrac{1}{n+1}\)
縦の和	S_n	=	1	-	\(\dfrac{1}{n+1}\)

よって，

\(S_n=1-\dfrac{1}{n+1}\)

この和の求め方をΣ記号で表すと，

\(\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}}\) \(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}- \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k+1}}\) \(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}- \sum_{k=2}^{n+1}\dfrac{1}{k}}\)
\(=1-\dfrac{1}{n+1}\)

有名な誤答がある。