数列 {nrn-1} を 等差×等比型の数列と呼ぶことがある。
この数列の 初項から第n項までの和 を一気に求める。
ざっくりとした解法を説明する。
等比数列の和 Un から
基本型 自然数×等比 の和 Tn,
さらに一般の 等差×等比 の和 Sn
のように，2段階に分けるとよい。
r は 1ではないとする。
まず，基本型
\(\displaystyle{T_n=\sum_{k=1}^{n}kr^{k-1}}\),
\(\displaystyle{U_n=\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}}\) とおけば，
\((r - 1)T_n = nr^n - U_n\)
一般の等差×等比型の和
例えば，
\(\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^{n}(4k-3)\cdot 5^{k-1}}\)
この和を求めてみる。
\(\displaystyle{T_n=\sum_{k=1}^{n}k\cdot 5^{k-1}}\),
\(\displaystyle{U_n=\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}}\) とおく。
\(S_n = 4T_n-3U_n\) に注意して
Tn を求めるところに，この頁の公式を使うと
\(S_n= (n\cdot 5^n-U_n)-3U_n = n\cdot 5^n -4U_n\)
\(=n\cdot 5^n - (5^n-1)=(n-1)\cdot 5^n+1\)