数学的帰納法例3

3 以上のすべての自然数 n について，
不等式 3^n-1 > n² - n + 2
が成り立つことを証明せよ。

[1]
結論: n = 3 のとき成り立つ。

推論：
3² = 9
3² - 3 + 2 = 8

n = 3 のとき成り立つことがいえた。

[2]
仮定: n = k のとき成り立つ。
i.e.

$3^{k-1} > k^2-k+2$ … ①
結論: n = k+1 のとき成り立つ。
i.e.

$3^{k} > (k+1)^2-(k+1)+2$ … ②

推論：

$3^{k}-\left\{(k+1)^2-(k+1)+2\right\}$

$=3\cdot 3^{k-1}-\left\{(k+1)^2-(k+1)+2\right\}$

$> 3(k^2-k+2)-\left\{(k+1)^2-(k+1)+2\right\}$ … ① を用いた。

$= 2k^2-4k+4$

$=2(k-1)^2+2$ … ③
③の値は， k が 3以上ならば正の数である。

n = k のとき成り立つと仮定すると， n = k+1 のとき成り立つことがいえた。