数学的帰納法

自然数 n を含む命題を p_n とする。
すべての自然数 n について p_n が成り立つことを証明する ために用いられる方法である。
人間の思考が無限に挑んだ一章である。

自然数 n を含む命題を p_n とする。
すべての自然数 n について p_n が成り立つことをいうには， 次の2つのこと(2つの命題)を示せばよい。
[1][2] より すべての自然数 n について p_n は成り立つ。 (帰納法の結びのひとこと)

1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n² … ① が成り立つ。

すべての自然数 n について，
4²ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺² は 13 の倍数であることを証明せよ。

3 以上のすべての自然数 n について，
不等式 3^n-1 > n² - n + 2
が成り立つことを証明せよ。

\(a_1=1\),  \(a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+3a_n}\) によって 定められる数列 {a_n} について
a_n を n で表す式を推測し， それを数学的帰納法で証明せよ。