数学的帰納法例4

141122 初版 141122 更新

例

\(a_1=1\), \(a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+3a_n}\) によって定められる数列 {a_n} について
a_n を n で表す式を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ。

n	1	2	3	4	…	n
a_n	1	\(\dfrac{1}{4}\)	\(\dfrac{1}{7}\)	\(\dfrac{1}{10}\)	…	\(\dfrac{1}{3n-2}\)

命題: すべての自然数 n について \(a_n=\dfrac{1}{3n-2}\)

[1]
結論: n = 1 のとき成り立つ。

推論：
n = 1 のとき \(\dfrac{1}{3n-2}=1\)

n = 1 のとき成り立つことがいえた。

[2]
仮定: n = k のとき成り立つ。
i.e. \(a_k=\dfrac{1}{3k-2}\) … ①
結論: n = k+1 のとき成り立つ。
i.e. \(a_{k+1} =\dfrac{1}{3k+1}\) … ②

推論：
\(a_{k+1}=\dfrac{a_k}{1+3a_{k}}\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{3k-2}}{1+\dfrac{3}{3k-2}}\) … ① を用いた。
\(=\dfrac{1}{3k-2+3}\) \(=\dfrac{1}{3k+1}\)

n = k のとき成り立つと仮定すると， n = k+1 のとき成り立つことがいえた。

[1] [2] よりすべての自然数 n で成り立つ。