160112 初版 160112 更新
\(\dfrac{1}{1\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 5}\)
\(=\left(1-\dfrac{2}{3}\right)\)
\(+\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{5}\right)\)
\(\dfrac{1}{1\cdot 4}+\dfrac{1}{4\cdot 7}\)
\(=\left(1-\dfrac{3}{4}\right)\)
\(+\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{7}\right)\)
\(\dfrac{1}{2\cdot 5}+\dfrac{1}{5\cdot 8}\)
\(=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{5}\right)\)
\(+\left(\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{8}\right)\)
分数の数列の和
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{a_k a_{k+1}}}\) について考える。
従来の方法は
別に 記すが，
ここでは，Hoshino の方法を発展，考察してみる。
不定方程式との関係
a, p は互いに素である自然数とする。
数列 {an} を 初項 a，公差 p の等差数列とする。
すると，bp - aq = 1 となる自然数 b, q が存在する。
行列式で表せば，
\(\left|
\begin{array}{cc}
p & a\cr
q & b\cr
\end{array}\right|
=1\)
このとき，行列式の性質により，任意の整数 k に対して
\(\left|
\begin{array}{cc}
a+(k+1)p & a+kp\cr
b+(k+1)q & b+kq\cr
\end{array}\right|
=1\)
すなわち，
\(\dfrac{b}{a}-\dfrac{b+q}{a+p}=\dfrac{1}{a(a+p)}\)
\(\dfrac{b+kq}{a+kp}-\dfrac{b+(k+1)q}{a+(k+1)p}=\dfrac{1}{(a+kp)(a+(k+1)p)}\)
言い換えると，
数列 {bn} を 初項 b，公差 q の等差数列として，
\(\dfrac{1}{a_{k}a_{k+1}}+\dfrac{1}{a_{k+1}a_{k+2}}\)
\(=\left(\dfrac{b_k}{a_k}-\dfrac{b_{k+1}}{a_{k+1}}\right)\)
\(+\left(\dfrac{b_{k+1}}{a_{k+1}}-\dfrac{b_{k+2}}{a_{k+2}}\right)\)