131020 初版 160113 更新
分数の数列の和を一気に求める。
その考えを学ぼう。
数列1
\(S_n=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}\)
この和を求めよう。
有名な誤答があるのだが、それを防ぐためにも
一度は逐次的にやってみたい。
\(S_1=\dfrac{1}{1\cdot 2}=\dfrac{1}{2}\)
\(S_2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\)
\(S_3=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\)
\(S_4=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4\cdot 5}=\dfrac{16}{20}=\dfrac{4}{5}\)
\(S_5=\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{5\cdot 6}=\dfrac{25}{30}=\dfrac{5}{6}\)
思うところがあると思う。
予想
\(S_n=\dfrac{n}{n+1}\)
次のようにも書ける。
\(S_n=1-\dfrac{1}{n+1}\)
数学的帰納法で証明することができて、
(I) n = 1 のとき成り立つか?
\(S_n=\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{2}\)
よって、n = 1 のとき成り立つ。
(II) n = k のとき成り立つとして、n = k+1 のとき成り立つか?
\(S_k=\dfrac{k}{k+1}\) を仮定する。
\(S_{k+1}=S_{k}+\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\)
\(=\dfrac{k}{k+1}+\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\)
\(=\dfrac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{k+1}{k+2}\)
よって、n = k のとき成り立つと仮定すると、n = k+1 のとき成り立つ。
(I) (II) より すべての自然数 n で成り立つことがいえる。
誰かが、上手いことを考えた。
第 k 項 \(a_k=\dfrac{1}{k(k+1)}\) … ① は次のように変形できる。
\(a_k=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\) … ②
② の右辺を計算すると確かに ① の右辺が出てくる。
これを使うと、
| a1 | = | \(\dfrac{1}{1}\) | - | \(\dfrac{1}{2}\) |
| a2 | = | \(\dfrac{1}{2}\) | - | \(\dfrac{1}{3}\) |
| a3 | = | \(\dfrac{1}{3}\) | - | \(\dfrac{1}{4}\) |
| … | | | … | |
| an-1 | = | \(\dfrac{1}{n-1}\) | - | \(\dfrac{1}{n}\) |
| an | = | \(\dfrac{1}{n}\) | - | \(\dfrac{1}{n+1}\) |
このように k を 1 から n まで走らせて、
縦に加えれば、
\(S_n=1-\dfrac{1}{n+1}\) と一気に求めることができる。
この和の求め方をΣ記号で表すと，
\(\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)}\)
\(=1-\dfrac{1}{n+1}\)
やはり、考え方に慣れたらΣを使ってあっさり記述したい。
次のことを使っている。
数列 {an} の 一般項が
数列 {bn} を使って、
an = bn - bn+1 と表されるならば、
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k}\)
\(=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(b_k-b_{k+1})}\)
\(=b_1-b_{n+1}\)
これ、どこかでみたような