160126 初版 160126 更新
等差数列の和
等差数列 {an} について，
初項から第n項までの和
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^na_k}\) は，
\(S=\dfrac{1}{2}n(a_1+a_n)\)
数列 {an} が等差数列ならば，
任意の k に対して，\(a_k+a_{n+1-k}\)は一定である。
なぜなら，
公差を d とすると，
\(a_{k+1}=a_k+d\),
\(a_{n+1-k}=a_{n-k}+d\) だから，
\(a_{k+1}+a_{n-k}=a_k+a_{n+1-k}\)
特に，
任意の k に対して，\(a_k+a_{n+1-k}=a_1+a_n\)
したがって，
\(\displaystyle{
2S=\sum_{k=1}^na_k+\sum_{k=1}^na_k
}\)
\(\displaystyle{
=\sum_{k=1}^na_k+\sum_{k=1}^na_{n+1-k}
}\)
\(\displaystyle{
=\sum_{k=1}^n(a_k+a_{n+1-k})
=n(a_1+a_n)
}\)