151207 初版 151207 更新
a, p, q は定数とする。
f(x) = a(x - p)2 + q (a は正の数) とする。
α ≦ x ≦ β における最大値について
\(\alpha≠\beta\) に注意して
\(f(\alpha)=f(\beta)\)
⇔ \((\alpha-p)^2=(\beta-p)^2\)
⇔ \(p=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\)
これは，放物線の対称性と同じことである。
γ = \(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\) とおく。
p < γ のとき
(グラフの軸が，
xの変域の 中央より左 にある)
x = β で 最大となる。
p = γ のとき
(グラフの軸が，
xの変域の 中央 にある)
x = α または x = β で 最大となる。
p > γ のとき
(グラフの軸が，
xの変域の 中央より右 にある)
x = α で 最大となる。
\(g(x)=(\alpha-x)^2-(\beta-x)^2\) (\(\alpha < \beta\)) とする
\(g(x)=2(\beta-\alpha)\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\) だから
\(\gamma=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\) とおくと
\(p< \gamma\) ⇔ \(g(p)<0\)
\(p= \gamma\) ⇔ \(g(p)=0\)
\(p> \gamma\) ⇔ \(g(p)>0\)