120920の問題について

諸君の数学の学力は飛躍的に伸びてきた。ちゃんと取り組んできた人は大いに自慢していい。
数学の学力格差はすごい勢いで拡大していく。力のある諸君はどんどん難題に取り組んでほしい。
この前のS台模試は難儀だったそうだな。 (ゆとり教育と格差社会についての考察)

これを機会にすこし改善してみようと思う。
まず，提出する前にきちんと見直したほうがいい。ズコーという，あまりにくだらない計算ミスがある。普通の文章であれば誤字脱字のたぐいである。
テストなど時間のないときならいざ知らず，レポートのような形式を取っているのだから，ちゃんと読み返したほうがいい。この形式の場合，不正解のほとんどはこれで改善できる。
また，論理の飛躍も読み返すことで改善できる。
この文章ももちろん練ってある。推敲を重ねてある。人に読んでもらうのだから当たり前のことである。

(本当にイイタイコトは学習の方法だったりする)

さて，
\(f(x)=8\sqrt{3}\cos^2x+6\sin x\cos x+2\sqrt{3}\sin^2 x\) という式を見たとき，何をしたくなるか。これは，知らないと無理かもしれない。
第1手は，いわゆる半角の公式というものを使う。

\(\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}\), \(\cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}\), \(\sin x\cos x=\dfrac{\sin 2x}{2}\)

正弦・余弦の2次式を1次式に変換するテクニックである。副作用として角が2倍になる。この手法は三角関数の積分法でよく使われる。

\(f(x)=8\sqrt{3}\cos^2x+6\sin x\cos x+2\sqrt{3}\sin^2 x\) \(=3\sin 2x+3\sqrt{3}\cos 2x+5\sqrt{3}\)

第2手は，第1項と第2項にいわゆる合成というものを使う。

2次式の平方完成がそうであったように，微分を使わないで，値の変化を解析しようと思ったら，できるだけ項をまとめる方向の式変形のがいいようである。

\(f(x)=8\sqrt{3}\cos^2x+6\sin x\cos x+2\sqrt{3}\sin^2 x\) \(=3\sin 2x+3\sqrt{3}\cos 2x+5\sqrt{3}\)
\(=6\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)+5\sqrt{3}\)

したがって，\(0\leqq x\leqq \pi\)のとき，\(f(x)\)は
\(x=\dfrac{\pi}{12}\)で最大値\(5\sqrt{3}+6\), \(x=\dfrac{7\pi}{12}\)で最小値\(5\sqrt{3}-6\)をとる

答えはそれでいいのだが，上の「したがって」の部分の理由を求められたら，なんとしよう。
ひとつは，グラフをかいてしまう手がある。
円で説明してもいいのだが，あれは，私はこう考えました，ということだな。
\(0\leqq x\leqq \pi\)なので， \(\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)の周期は\(\pi\)だからという説明ですむかも。
1周期全部動かなかったら，そのときはそのときか。

最大・最小を与える\(x\)の値は，
TDN(ただの計算)なので，何はなくとも計算力である。