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121006 初版

MathJaxがあまりにいいので, 調子に乗って書いてみる
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121006-1の問題について

全国理数科研究大会は大変興味深いものであった。 私たちにも研修の機会は必要である。 それもネットや近場でなくて遠いほうがいい。

今日の問題は,案外面白い問題であった。
k>1とする。
0における, f(x)=k\sin x+\cos xの最大値と最小値を求めてみる。

最大値・最小値というのは, ここで述べるように, 集合の考えで説明するのが一番いい。

f(x)xにいろいろな値を入れてみて
値の一番大きいのが最大値である。
この見方(というより定義だな)は当たり前だが,絶対である。
関数によって手法が違う。 何も考えないのなら微分法を用いる。

今日もぶつぶつ呟きながら解説したが, 答えではなくプロセスを自分で考えることは大切で,
その習慣をもってほしいな。
この問題なら,ああ合成だな。
と思う前に代入すると,少なくとも次のことがわかる。

f(0)=1, f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=k
仮定k>1より,f(0) < f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)
無限個の値を代入するのは無理だが,両端くらいはやってみよう。
例えば,1次関数や単純な指数・対数関数,無理関数くらいならこれでいいじゃないか。
(その区間で増減が単調なものなら)
このf(x)はこの区間では第1項が単調に増加,第2項は単調に減少であるから, 何らかの手を打たなければならない。
2項をまとめるのは, 2次式の平方完成, 三角関数の合成, 相加平均相乗平均の大小関係 なんていう手がすぐ思いつくが,
これは合成だよな。
0\leqq x\leqq 3において,x^2+5xの最大値,最小値を求めよ。
なんて問題で,平方完成をするのはどうかと思うが,
x^2+5xx < -\dfrac{5}{2}で減少,-\dfrac{5}{2} < xで増加と 説明しなくてはいけないかな。
x>0で第1項増加,第2項も増加じゃだめかね。 納得してもらえればそれでいいのでは。
まあ,平方完成がいらないとはいわない。

f(x)=k\sin x+\cos x=r\sin(x+\alpha)
ここで,r=\sqrt{k^2+1}で, \alpha(\cos\alpha,\sin\alpha)=\left(\frac{k}{r},\frac{1}{r}\right) を満たす数。

このとき,仮定k>1はどう使われるのだろうか。
図を書いて説明してもよいが,

k>1のとき,0 <\alpha < \dfrac{\pi}{4}である。
正弦と余弦は
0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}において,
0 < \sin\theta < 1, 0 < \cos\theta < 1
\sin\thetaは増加,\cos\thetaは減少,
0 < \theta <\dfrac{\pi}{4}\Longleftrightarrow \sin\theta < \cos\theta
\dfrac{\pi}{4} < \theta <\dfrac{\pi}{2}\Longleftrightarrow \sin\theta > \cos\theta
は,意識すべき事象だと思う。

最大値は\sqrt{k^2+1}, 最小値は1
なのだが,ちゃんと説明すると,
x_1=\dfrac{\pi}{2}-\alpha0 <\alpha < \dfrac{\pi}{4}なので, 0 < x_1 < \dfrac{\pi}{2}である。
r\sin(x+\alpha)0 < x < x_1で増加,x_1 < x < \dfrac{\pi}{2}で減少
f(0) < f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)
hence,
f(x)x=x_1で最大,x=0で最小となる。
円を用いた図や,グラフや,今みたいに表の考えや, 式での処理なんかで(それらを複合して)答えに至る説明をしてもよい。

x 0 x_1 \dfrac{\pi}{2}
x+\alpha \alpha \dfrac{\pi}{2} \dfrac{\pi}{2}+\alpha
f(x) 1 \sqrt{k^2+1}k