131026 初版 131026 更新
数列 {an} に対して、
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=2}^{n+1} a_{k-1}}\) … ④
を番号振替えの原理と呼ぶことにする。
一般項 a
n = n • 3
n-1 である数列について、
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^n a_k}\) を求める際に、
教科書のようなやり方もマスターしなければならないが、
\(\displaystyle{3S=\sum_{k=1}^n k\cdot 3^k}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=2}^{n+1} (k-1)\cdot 3^{k-1}}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^n (k-1)\cdot 3^{k-1}}+n\cdot 3^n\)
\(\displaystyle{=S-\sum_{k=1}^n 3^{k-1}+n\cdot 3^n}\)
\(2S=-\dfrac{3^n-1}{2}+n\cdot 3^n\)
\(S=\dfrac{(2n-1)\cdot 3^n+1}{4}\)
慣れると、あまり書かないのでスペースも時間も使わない。
さらに上を狙う生徒にはお勧めだと思っている。