131101 番号振替えの原理 2

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131026 初版 131026 更新

数列 {a_n} に対して、

$\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=2}^{n+1} a_{k-1}}$ … ④

を番号振替えの原理と呼ぶことにする。

一般項 a_n = n (n+1) である数列について、

$\displaystyle{S=\sum_{k=1}^n a_k}$ を求める

番号振替えの原理を使う

3 a_k = k (k+1) (k+2) - (k-1) k (k+1)
を使う。 b_k = k (k+1) (k+2) とおくと (k = 0, 1, 2, …)

$\displaystyle{3S=3\sum_{k=1}^n a_k}$

$\displaystyle{=\sum_{k=1}^n (b_k-b_{k-1})}$

$\displaystyle{=\sum_{k=1}^n b_k - \sum_{k=1}^{n-1} b_k }$

$= n (n+1) (n+2)$

$S=\dfrac{1}{3}n(n+1)(n+2)$

慣れると、あまり書かないのでスペースも時間も使わない。
さらに上を狙う生徒にはお勧めだと思っている。