131126 初版 131126 更新
k, l, m, n は自然数とする。
n に対して，
1 ≦ k ≦
l ≦ m ≦ n なる
3つの数 (k, l, m) の組数を求める。
これは
n は自然数とする。
n に対して，
x + y + z ≦ n - 1 を満たす
0以上の整数3つ (x, y, z) の組数を考えることと同じ。
なぜなら，
x を k - 1 とする。
y は l - k, z は m - l とすれば，同型となるから。
例えば，
n = 8 のとき，
(k, l, m) = (3, 3, 7) ↔ (x, y, z) = (2, 0, 4)
さらに，これは
n は自然数とする。
n に対して，
x + y + z + w = n - 1を満たす
0以上の整数4つ (x, y, z, w) の組数を考えることと同じ。
こちらへ
x を k - 1 とする。
y は l - k, z は m - l, w は n - m とすれば，同型となるから。
例えば，
n = 8 のとき，
(k, l, m) = (3, 3, 7) ↔ (x, y, z, w) = (2, 0, 4, 1)