131127 初版 131127 更新
n は自然数とする。
n に対して，
x + y + z + w = n - 1を満たす
0以上の整数4つ (x, y, z, w) の組数を求める。
仮設の考え, 帰納的な考えを用いる。
(1)
x + y = m とする。
それぞれの m に対して， (z, w) は n - m とおりある。
実際
(z, w) = (0, n-m-1), (1, n-m-2), (2, n-m-3), … (n-m-1, 0)
(2) さらにこのとき x = k とする。
このとき (y, z, w) は 何とおりあるだろうか。
m = k, k+1, k+2, … n-1
(1) より，
それぞれの m に対して， (z, w) は n - m とおりあったから
\(\displaystyle{\sum_{m=k}^{n-1}(n-m)}\)
\(\displaystyle{=\sum_{m=1}^{n-k}m}\)
\(=\dfrac{1}{2}(n-k)(n+1-k)\)
(3)
k = 0, 1, 2, … n-1 だから
求める組数は
\(\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{2}(n-k)(n+1-k)}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2}k(k+1)}\)
\(=\dfrac{1}{6}n(n+1)(n+2)\)