固有値と行列の累乗 1

2次正方行列 \(A= \left(\begin{array}{cc} 2 & 1\cr 2 & 3\cr \end{array}\right)\) に対して
\(A \left(\begin{array}{c} x\cr y\cr \end{array}\right) =k \left(\begin{array}{c} x\cr y\cr \end{array}\right)\)…①  を満たす固有値と固有ベクトルを求める。

①⇔ \((A-kE) \left(\begin{array}{c} x\cr y\cr \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\cr 0\cr \end{array}\right)\)

これを満たす零でないベクトルが存在するのは，
行列 A-kE が逆行列をもたないことと同値である。

det(A-kE) = k² -5k + 4
k=1, 4 のとき， この式(特性方程式，あるいは固有方程式という)の値は 0
これが固有値である。

k = 1 のとき， \(A-kE= \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\cr 2 & 2\cr \end{array}\right)\) だから，
固有ベクトルの一つは， \( \left(\begin{array}{c} 1\cr -1\cr \end{array}\right)\) である。

k = 4 のとき， \(A-kE= \left(\begin{array}{cc} -2 & 1\cr 2 & -1\cr \end{array}\right)\) だから，
固有ベクトルの一つは， \( \left(\begin{array}{c} 1\cr 2\cr \end{array}\right)\) である。