例
2次正方行列 \(A=
\left(\begin{array}{cc}
2 & 1\cr
2 & 3\cr
\end{array}\right)\) に対して
\(A
\left(\begin{array}{c}
1\cr
-1\cr
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
1\cr
-1\cr
\end{array}\right)\)…①,
\(A
\left(\begin{array}{c}
1\cr
2\cr
\end{array}\right)
=4
\left(\begin{array}{c}
1\cr
2\cr
\end{array}\right)\)…②
であった。
これは行列の積の定義により，
次のように1つに表すことができる。
\(A
\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\cr
-1 & 2\cr
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\cr
-1 & 2\cr
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\cr
0 & 4\cr
\end{array}\right)
\)
\(P=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\cr
-1 & 2\cr
\end{array}\right)\) とおいて，
P は逆行列をもつので，
\(P^{-1}AP=
\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\cr
0 & 4\cr
\end{array}\right)\)
固有値と固有ベクトルを用いると，
対角化することができる。