ネイピア数 e の話

実際，
h > 0 のとき， \(a^h > 1\) で，  h < 0 のとき， \(a^h < 1\) だから。

二分法を使って説明する。(組立除法 弧度法 数学的帰納法 背理法 無限降下法 …)
実数の二進展開と同値である。
h > 0 とする。
\(g\left(\dfrac{h}{2}\right) =\dfrac{a^{\frac{h}{2}}-1}{\frac{h}{2}} =\dfrac{2(a^{\frac{h}{2}}-1)(a^{\frac{h}{2}}+1)}{h(a^{\frac{h}{2}}+1)}\)
\(=\dfrac{2}{a^{\frac{h}{2}}+1}\cdot\dfrac{a^h-1}{h} =\dfrac{2}{a^{\frac{h}{2}}+1}g(h) < g(h)\)
h < 0 のときは \(g(h) < g\left(\dfrac{h}{2}\right)\) がいえる。

実際，
グラフ \(y=f(x)\) 上の 2点 G(0,1), H\((h,f(h))\)
直線GHの傾き \(g(h)=\dfrac{2^h-1}{h}\) を考察する。
\(g(2)=\dfrac{2^2-1}{2}=\dfrac{3}{2}\),  \(g(1)=\dfrac{2^1-1}{1}=1\)
上の補題を使えば，G における接線の傾きは g(1) より小さい。 すなわち 1 より小さい。
ちなみに， \(g\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}}\) \(=2\left(\sqrt{2}-1\right)=1+\sqrt{8}-\sqrt{9} < 1\)

実際 みつけてみた。
グラフ \(y=f(x)\) 上の 2点 G(0,1), H\((h,f(h))\)
直線GHの傾き \(g(h)=\dfrac{3^h-1}{h}\) を考察する。
\(g\left(-\dfrac{1}{6}\right)=\dfrac{1-\sqrt[6]{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{6}}\) \(=6\left(1-\sqrt[6]{\frac{1}{3}}\right) =1+5-6\cdot\sqrt[6]{\frac{1}{3}} =1+\sqrt[6]{15625}-\sqrt[6]{15552} > 1\)
上の補題を使えば，G における接線の傾きは \(g\left(-\dfrac{1}{6}\right)\) より大きい。 すなわち 1 より大きい。