130210 初版 130415 更新
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前に書いたように
指数関数 \(f(x)=a^x\) は実質1種類である。
底としてはネイピア(Napier)数 e が相応しい。
ネイピア(Napier)数 e に対して，
\(f(x)=e^x\) の導関数は \(f^\prime(x)=e^x\)
すなわち，\((e^x)^\prime=e^x\)
また，\(y=e^x\) は 微分方程式 \(y^\prime=y\), \(y(0)=1\) の解である。
前回
\(\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{e^h-1}{h}=1}\)
これで e を構成していったのは，
\(e^x\) の微分をやりたかったからである。
実際，
\(f(x)=e^x\) とすると，高校における導関数の定義により，
\(\displaystyle{f^\prime(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{e^{x+h}-e^x}{h}
=e^x \cdot \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{e^{h}-1}{h}=e^x}\)
前に書いたように
対数関数 \(f(x)=\log_ax\) は実質1種類である。
底としてはネイピア(Napier)数 e が相応しい。
\(\log_e x\) を ただ \(\log x\) とかくことが多く，自然対数という。
一般の底に対しては
\(f(x)=a^x\) の導関数は \(f^\prime(x)=a^x\log a\)
実際，
指数関数の底の変換公式 \(b=a^{\log_ab}\) により，
\(a^x=e^{x\log a}\)
合成関数の微分法により，
\(f^\prime(x)=e^{x\log a}\log a=a^x\log a\)
\(f(x)=\log x\) の導関数は \(f^\prime(x)=\dfrac{1}{x}\)
実際，
\(y=f(x)\) とおいて， \(x=e^y\)
両辺を y で微分すると， \(\dfrac{dx}{dy}=e^y\)
したがって，
逆関数の微分法により，
\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{e^y}=\dfrac{1}{x}\)
一般の底に対しては
\(f(x)=\log_ax\) の導関数は \(f^\prime(x)=\dfrac{1}{x\log a}\)
実際，
対数関数の底の変換公式 \(\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}\) により，
\(\log_ax=\dfrac{\log x}{\log a}\)
よって，\(f^\prime(x)=\dfrac{1}{x\log a}\)