逆関数の微分法

$x=y^2$
関数 x ↦ y を， 関数 y ↦ x の　逆関数とみている。

$\dfrac{dx}{dy}=2y$ だから，
$y^\prime = \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

$x=y^3$
関数 x ↦ y を， 関数 y ↦ x の　逆関数とみている。

$\dfrac{dx}{dy}=3y^2$ だから，
$y^\prime = \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

$x=y^p$
関数 x ↦ y を， 関数 y ↦ x の　逆関数とみている。

$\dfrac{dx}{dy}=py^{p-1}$ だから，
$y^\prime = \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{p\sqrt[p]{x^{p-1}}}=\dfrac{1}{p}x^{\frac{1}{p}-1}$