\(\int f^\prime(u)\dfrac{du}{dx} dx = f(x)+C\) (Cは定数)
実際の公式としての活用は次のとおり
\(\int y dx = \int y\dfrac{dx}{du}du\)
x の関数を x で積分したいとき，
x の関数 u で式を置き換えて，u で積分してみよう。
y を u で表して，
x を u で微分したものを y に掛けると u で積分することができる。
例
不定積分
\(\int x\sqrt{x+1} dx\) を求めたい。
\(u=\sqrt{x+1}\) とおくと，
\(x=u^2-1\), \(\dfrac{dx}{du}=2u\)
\(\int x\sqrt{x+1} dx=\int (u^2-1)u(2u) du\)
\(=\int 2(u^4-u^2) du\)
\(=\dfrac{2}{15}(3u^5-5u^3)+C\)
\(=\dfrac{2}{15}(x+1)^{\frac{3}{2}}(3x-2)+C\)
\(\int y\dfrac{du}{dx} dx = \int y du\)
x の関数を x で積分したいとき，
x の関数 u で式を置き換えて，u で積分してみよう。
積分したい式のうち u を x で微分した式を見つけて，
その部分を割ると u で積分することができる。
例
不定積分
\(\int \sin^3 x\cos x dx\) を求めたい。
\(u=\sin x\) とおくと，
\(\dfrac{du}{dx}=\cos x\)
\(\int \sin^3 x\cos x dx\)
\(=\int u^3 \dfrac{du}{dx}dx\)
\(=\int u^3 du\)
\(=\dfrac{1}{4}u^4+C\)
\(=\dfrac{1}{4}\sin^4 x+C\)