Processing math: 4%
(sin2x)′=2cos2x だから
\int 2\cos 2x dx= \sin 2x + C
(\sin x^2)^\prime = 2x\cos x^2 だから
\int 2x\cos x^2 dx= \sin x^2 + C
(e^{-2x})^\prime = -2e^{-2x} だから
\int e^{-2x} dx= -\dfrac{1}{2}e^{-2x} + C
(e^{-x^2})^\prime = -2xe^{-x^2} だから
\int xe^{-x^2} dx= -\dfrac{1}{2}e^{-x^2} + C
(\sin^2 x)^\prime = 2\sin x\cos x だから
\int \sin x \cos x dx= \dfrac{1}{2}\sin^2 x + C
最後の積分は，他にも方法があるけれど。
u を x の関数 とすると，
合成関数の微分法により，
\dfrac{d}{dx}f(x) = \dfrac{d}{du}f(u) \dfrac{du}{dx}
\int f^\prime(u) \dfrac{du}{dx} dx = f(x)+C
(
注釈 )
例
u=\cos x, y=\log|u| とおくと，
\dfrac{du}{dx}=-\sin x, \dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{u} だから
\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = -\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}
よって，
\int \tan x dx =-\log|\cos x|+C (Cは定数)
例
u=\sin x, y=\log|u| とおくと，
\dfrac{du}{dx}=\cos x, \dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{u} だから
\cot x=\dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}
よって，
\int \cot x dx =\log|\sin x|+C (Cは定数)