区間 0 ≦ x ≦ 1 , 関数 f(x)=x2 とする。
数列 {xk} \(x_k=\dfrac{k}{n}\) (k=1,2,3,…, n)
数列 {wk} \(w_k=\dfrac{1}{n}\) (k=1,2,3,…, n)
このとき，
\(\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^{n}f(x_k)w_k}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{k}{n}\right)^2\cdot\dfrac{1}{n}}\)
\(=\dfrac{1}{n^3}\cdot\dfrac{1}{6}\cdot n(n+1)(2n+1)\)
\(=\dfrac{1}{3}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{1}{2n}\right)\)
\(\displaystyle{\int_0^1 x^2\ dx=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n=\dfrac{1}{3}}\)