立体の体積の定義を与える
ある空間図形 D がある。
一本の数直線 x 軸を用意する。
数直線上の 点 x における軸を法線とする平面を考え，
立体 D を切り取る断面の面積を S(x) とする。
S(x) を
区間 a ≦ x ≦ b (立体 D の x軸方向の幅)で考え
数列 a ≦ x1 < x2 < x3 <
… < xk < … < xn ≦ b を与える。
数列 {wk} があって，
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^nw_k=b-a}\) を仮定する。
このとき，
リーマン和
\(\displaystyle{V(S,w;a,b)=\sum_{k=1}^nS(x_k)w_k}\) の極限
\(\displaystyle{V(S;a,b)=\int_a^bS(x)\ dx}\) を 立体 D の体積という
この定義は，アルキメデスたちの功績である。