3点A, B, P は同一直線上にある。
点P が 直線AB 上にある。
この2つの文は，数学的には同じことを意味している。
それすら，理解できない(あるいは理解を拒否している)ことがある。
同じこと，同じ文を見ていても，ひとによって，理解が異なるようだ。
高校1，2年では，問題の解き方もいいが，数学の感覚をつけさせたい。
ベクトルを用いるとさらに，
\(\overrightarrow{\rm AP}=t\overrightarrow{\rm AB}\) …① なる t がある。
といいかえることができる。
数学ではこれらが同じことだと理解することが大切である。
実数 t の意味合いは
一直線上にある3点について，
0 < t < 1 のとき，Pは線分ABをAP:PB = t:(1-t) に内分する点である
t < -1 および t > 1のとき，Pは線分ABをAP:PB = |t|:|1-t| に外分する点である
①式のいいかえもいくつかあって
始点変更公式を使うと，
\(\overrightarrow{\rm OP}=(1-t)\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\) …②
②式の解釈は
P の位置ベクトルは A の位置ベクトルと B の位置ベクトルに 1-t, t の重みをつけて結合している。
係数の対応に注意する。
斜交座標の考えを使うと，
平面 OAB 上の任意の点P には
\(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\) なる (s,t) が
存在するが，
P が 直線AB 上にあることは s + t = 1 と同値である。
そういう感覚があるひととないひとでは，悲しいくらいに見えているものが違う。