点の高さ

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131208 初版 131208 更新
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ベクトルは図形の問題を解く道具である。
そう思っていると、教科書にはないがよく用いられる考えがある。

平面 α の法線ベクトルを

$\vec{n}$ とする。
点 P と α との距離を求めよう。

H を P から α に下ろした垂線の足とする。

手法1
正射影の考えを使う。

α 上に点 A をとり，直角三角形PAH に注目する。
∠ APH = θ とおく。
PH = PA cos θ
ところで，

$\cos\theta = \dfrac{\left|\overrightarrow{\rm PA}\cdot\vec{n}\right|}{{\rm PA}\cdot\left|\vec{n}\right|}$
ゆえに，

${\rm PH}=\dfrac{\left|\overrightarrow{\rm PA}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{n}\right|}$

手法2
手法1とおなじことだが，

α 上に点 A をとり，

$\overrightarrow{\rm AH}\cdot\vec{n}=0$ … ①

$\overrightarrow{\rm PH}=t\vec{n}$ なる t がある。… ②

① より，

$(\overrightarrow{\rm PH}-\overrightarrow{\rm PA})\cdot\vec{n}=0$ … ③
すなわち，

$\overrightarrow{\rm PH}\cdot\vec{n}=\overrightarrow{\rm PA}\cdot\vec{n}$
② より

$t=\dfrac{\overrightarrow{\rm PA}\cdot\vec{n}}{\left|\vec{n}\right|^2}$
再び ② より

${\rm PH}=\dfrac{\left|\overrightarrow{\rm PA}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{n}\right|}$

③ の変形が決め手である。

座標から高さを出す際にも，ベクトルの考えを使って求めたほうがいいと思う。